IE1.Signals&Amplifiers

Table of Contents

IE1.Signals&Amplifiers
#

Last Edit: 9/4/25

1.1 Signals
#

信号包含了关于物理世界中各种活动和事物的信息
很多的东西都可以归于信号，例如 Temperature, Pressure, Wind Speed 等

Processing Signals
#

为了从 Signals 中提取有效的信息，则需要进行 Signal Processing
但是在这之前，人需要将其转换为 Voltage 或者 Current

Signal Source
#

信号源同 Source 一样，显示世界中并没有 Ideal Source，即 Zero Resistance
所以这就需要给 Source 添加一个 Resistor，其可以通过Thevenin Form 来表达

上图两种表示方法是等效的

1.2 Frequency Spectrum of Signals
#

研究信号时，一个非常重要的方式是用它的 frequency spectrum 来表示
通过 ****Fourier series（傅里叶级数）和 Fourier transform（傅里叶变换），能把任意信号表示成不同频率和幅度的 sine waves之和
所以，sinusoid 是电子学里最重要的信号形式之一

上图是一个 Sine-wave Voltage Signal，其表达式为

$$ v_a(t) = V_a \sin(\omega t) $$

其中：

$V_a$：amplitude 振幅，单位 V
$\omega$：angular frequency 角频率，单位 rad/s
f：frequency 频率，单位 Hz，关系为 $\omega = 2 \pi f$
T：period 周期，单位 s，关系为 $f = 1/T$

RMS Root Mean Value
#

Sine Wave 常用 Root-Mean-Square 来表示，这是因为 Sine Wave 图像的对称性（奇函数）导致的其在取传统 Mean 的时候正负会相互抵消，而又需要一个能反映它产生的 Energy 或者 Power 的值，于是就有了 RMS

$$ V_{rms} = \frac{V_a}{\sqrt{2}} $$

举例：

家庭电源（wall power supply）标称 120 V，实际上是正弦波的 rms 值，
所以峰值电压是 $120\sqrt{2} \approx 170 V$

Fourier Series
#

然而，就像前面的 Thevenin 一样，真实情况下的 Signal 一般并不全是 Sine Wave，这导致他们无法被用一个简单的公式直接分析

所以 Fourier Series 的思想就是将任意的 Complex Signals 分解成一堆 Sine Waves 的组合

Sine Wave 就可以类比为 Signal 中的 Atoms, they made up everything

对于上面的 Square-Wave 来说，它的傅里叶展开结果为

$$ v(t) = \frac{4V}{\pi}\left(\sin \omega_0 t + \frac{1}{3}\sin 3\omega_0 t + \frac{1}{5}\sin 5\omega_0 t + \cdots \right) $$

V：方波幅度
$\omega_0 = \frac{2\pi}{T}$：Fundamental Frequency 基频角频率
这个公式说明：

Square Wave 其实是由无穷多个正弦波叠加而成
其只包含odd harmonics 奇次谐波：$\omega_0, 3\omega_0, 5\omega_0…$
每个谐波的 Amplitude 随着频率升高而减小（与 1/n 成正比）

Line Spectrum
#

一个 Wave 包含了一个基波加上无数个谐波，而对于这个 Square Wave 来说，想要画出它的 Frequency 的成分，就可以通过 Line Spectrum
其中每一根竖线代表信号在该频率下的一个正弦波分量

基频分量（$\omega_0$）的幅度是 $\frac{4V}{\pi}$
第三次谐波（$3\omega_0$）幅度是 $\frac{1}{3}\frac{4V}{\pi}$
第五次谐波（$5\omega_0$）幅度是$\frac{1}{5}\frac{4V}{\pi}$，依此类推
方波看起来是“方形”的，但它实际上是这些频率分量正弦波叠加的结果。

Representations
#

总的来说，表达 Signals 有两种方式，Time-Domain 和 Frequency-Domain
时域看信号随时间的波形，频域看信号的频率成分

1.3 Analog and Digital Signals
#

Analog Signal
#

Analog Signal 模拟信号，指的是这个信号是 Analogous 模拟他所表示的实际信号的
其中其 Amplitude 可以取任意值，其在图像中是 Continuous Variation 连续变化的

Digital Signal 数字信号
#

通过一系列数字来表示某个时间点的 Signal Amplitude 的叫做 Digital Signal 数字信号
他就是从 Analog Signal 中 Sampling 得到的

Digital Signal 仅仅在 Sampling 的时候有定义，其不再是一个 Continue Function，而是 Discrete-Time Signal

Type of digital signal
#

不同的 Number System 下，Digital Signal 的表示形式也将不一样
其中 Binary Number System 是最常见的，其只有 0 和 1，也就是高电平和低电平

这张图中，蓝色波形表示一个 binary digital signal 随时间的变化
如果用 N binary digits, 表示模拟信号的每个采样值，那么数字化后的采样值可以写成：

$$ D = b_0 2^0 + b_1 2^1 + b_2 2^2 + \dots + b_{N-1} 2^{N-1} $$

其中：

$b_0, b_1, …, b_{N-1}$ 是 比特（bits），取值只能是 0 或 1
$b_0$ 是 LSB least significant bit，最低有效位
$b_{N-1}$ 是 MSB most significant bit，最高有效位
这个二进制数通常写作 $b_{N-1} b_{N-2} … b_0$
结果是：一个模拟采样值被量化（quantized）到 $2^N$ 个可能的等级（levels）中

之所以是 $2^N$ 是因为整个 Signal 被当做了一个 Binary Number

N 越大，数字结果就越接近真实模拟值，量化误差（quantization error）就越小，但电路更复杂、成本更高

A/D converter
#

A/D converter 模数转换器，Analog-to-Digital Converter, ADC
顾名思义将 Analog Input 转换为 Digital Output
而中间的模块首先 Sampling，在 Decent 的时间点上读取 Signal
之后将连续的 Voltage 逼近到 $2^N$ 个能级中，举例来说有
假设输入电压范围是 0 V ~ 5 V
在这个范围里，电压可能是 2.53 V、3.1415 V、甚至 4.00001 V，理论上是无限多的可能值
这很合理，因为 Analog Signal 是 continuous 的，而 ADC 不能处理无限多的值，它必须用有限的比特数（二进制位）来表示
假设是 3-bit ADC（N=3）：
它最多能表示 $2^3 = 8$ 个等级（levels）
那么 0~5 V 的输入范围被均匀分成 8 段，每一段宽度是：$\frac{5}{8} = 0.625 , \text{V}$
于是：
输入 0~0.625 V → 输出 000
输入 0.625~1.25 V → 输出 001
输入 1.25~1.875 V → 输出 010
输入 1.875~2.5 V → 输出 011
输入 2.5~3.125 V → 输出 100
输入 3.125~3.75 V → 输出 101
输入 3.75~4.375 V → 输出 110
输入 4.375~5.0 V → 输出 111
将所有的 Binary Number 组合后将其表示出来最终 Encoding 得到结果
然后就是输出成 Analog Output

1.4 Amplifiers
#

Signal Processing 中，一个最基本的功能就是 Signal Amplification 信号放大
这就需要研究 Amplifier 的作用

1.4.1 Signal Amplification
#

Signal Amplifier 信号放大器的功能就是把微弱的信号，如 $\mu V,nV$ 级别的信号放大到足够大，便于后续的处理
而其关键的需求就是 Linearity 线性
即在 Signal 被放大后，Wave 因保持不变，只是 Amplitude 更大
其中如果 Wave 的形状发生了改变，即 Distortion 失真
Amplifier 的功能用公式表达出来就是

$$ v_o(t) = A v_i(t) $$

$v_i$：input signal（输入信号）
$v_o$：output signal（输出信号）
$A$：amplifier gain（放大器增益），是常数

Voltage Amplifier (电压放大器)
#

主要处理很小的输入电压信
目的：让信号幅度更大
示例：preamplifier（前置放大器），在家庭音响系统（home stereo system）中常见

Power Amplifier (功率放大器)
#

功能：提供足够的功率给负载（例如 loudspeaker 扬声器）
特点：电压增益可能不大，但功率输出很大
扬声器是系统的 output transducer（输出换能器），将电信号转换为声音信号
linear power amplifier（线性功率放大器）能保证无论大音量还是小音量，音乐都不会失真

1.4.2 Amplifier Circuit Symbol
#

一个完整的 Amplifier 应如上图，存在一个 Input 和 Output，同时有 Ground

1.4.3 Voltage Gain
#

负载电阻：$R_L$ （load resistance 负载电阻）
放大器把输入信号放大，输出端得到放大的复制品。
电压增益 (Voltage gain 电压增益) 定义为：

$$ A_v = \frac{v_o}{v_i} $$

左边：输入电压 $v_i(t)$
三角形：电压放大器 (voltage amplifier 电压放大器)
右边：负载电阻 $R_L$，输出电压 $v_o(t)$ 在其两端产生
其中整个 Transfer 过程都将是 Linear 的（理想状态下）

1.4.4 Power Gain and Current Gain
#

已知 Power = Current $\times$ Voltage
所以对于 Power 的增益定义为

$$ A_p = \frac{P_L}{P_I}= \frac{v_O i_O}{v_I i_I} = A_v \times A_i $$

1.4.5 Expressing Gain in Decibels
#

Decibels 分贝，是一个对数数据，在工程中使用如此对数数据的好处是在多个 Amplifier 相乘的时候，Log 的运算便为 Addition
同时 Current，Voltage 和 Power 本质上是无纲量，于是有

$$ \text{Voltage gain (dB)} = 20 \log |A_v| $$

$$ \text{Current gain (dB)} = 20 \log |A_i| $$

$$ \text{Power gain (dB)} = 10 \log A_p $$

这里的系数值得说明一下，首先对于 Decibels 的定义是从 Power 开始的，有

$$ G_{dB} = 10 \log_{10} \left( \frac{P_{out}}{P_{in}} \right) $$

这个 “10” 是最原始的定义，和功率的物理意义绑定。
在相同电阻 R 下：$P = \frac{V^2}{R}$，于是有

$$ \frac{P_{out}}{P_{in}} = \left(\frac{V_{out}}{V_{in}}\right)^2 $$

$$ G_{dB} = 10 \log \left(\frac{P_{out}}{P_{in}}\right) = 10 \log \left(\frac{V_{out}}{V_{in}}\right)^2 = 20 \log \left(\frac{V_{out}}{V_{in}}\right) $$

所以电压增益、电流增益的 dB 表达式是 20 log，完全是从功率的 10 log 定义 推出来的。
拿 Power Gain 举例来说，当 $A_p$ 为 10 的时候，Power Gain 为 0 dB
$A_p$ 为 100 的时候，Power Gain 为 40 dB，$A_p$ 为 1000 的时候，Power Gain 为 60 dB
这就说明了 dB 的增加实际上是底数的倍数级上升

1.4.6 The Amplifier Power Supplies
#

已知 Amplifier 送到 Load 的功率比从 Signal Source 获得的功率大，而那一部分多余出来的功率就是从 DC Power Supplies 直流电源中获取

其中正电源为 $V_{CC}$，负电源为 $V_{EE}$
对于 Amplifier 来说，其存在两个端子，一个接 $V_{CC}$，一个接 $V_{EE}$ 剩下的接地

DC power 直流功率
#

于是就可以得出 DC Power 的 DC 功率为

$$ P_{dc} = V_{CC} I_{CC} + V_{EE} I_{EE} $$

有 Power-balance equation 功率平衡方程

$$ P_{dc} + P_I = P_L + P_{dissipated} $$
- $P_I$：信号源供给的功率（power from signal source）
- $P_L$：负载功率（power delivered to load）
- $P_{dissipated}$：放大器内部消耗（功率转为热 dissipated power）

Amplifier efficiency 放大器效率
#

因为 $P_I$ 很小，可以忽略，所以效率定义为：

$$ \eta = \frac{P_L}{P_{dc}} \times 100 $$

1.4.7 Amplifier Saturation
#

Amplifier 在一定范围中是 Linear 的
但是一旦输出过大或者过小，Output 的 Voltage 就会到达电源的极限，导致其无法再继续增加或减小，Saturation 就出现了
图中用 $L_+$ 表示 Positive saturation level 正饱和电平
用 $L_-$ 表示 Negative saturation level 负饱和电平
通常 $L_+$ 和 $L_-$ 会比 Power Supply 电源电压）低一点点（几分之一伏），因为电路元件本身有压降

To Avoid Distortion
#

Distortion 是一个非常宽泛的实践，其会发生在很多种不同的情况下，其中 Clipping 就是其中一种

如图中，直线在途中说明的就是 Amplifier 的数学规律，即 Input 和 Output 的关系
其在输入到达一定大小的时候会不再变化
而 Wave 则是 Signal 随 Time 的变化情况，说明了真实信号在时间上运行的时候的行为，即 Clipping
而为了避免波形被 Clipping 削波，输入电压必须限制在一定范围内：

$$ \frac{L_-}{A_v} \le v_I \le \frac{L_+}{A_v} $$

这里 $A_v$ 是放大器 voltage gain 电压增益
意思是：输入信号幅度必须在这个范围，输出才不会超出线性区

1.4.8 Symbol Convention
#

电流 $i_C(t)$ = total instantaneous current 总瞬时电流
它由两部分组成：
- DC component 直流分量）： $I_C$，是一个恒定值
- Signal component 信号分量）： $i_c(t)$，随时间变化，一般是正弦波
数学式：

$$ i_C(t) = I_C + i_c(t) $$
如果 $i_c(t)$ 是正弦波则有

$$ i_c(t) = I_c \sin \omega t $$