LA 1. Vector Line & Plane

Last Edit: 11/26/24

Set Notation 集合

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• Set is a collection of objects, called elements of the set $$A={t|t\in R}$$
• 这就是一个矩阵，其中A为t，而t可以取任意Real Number
• 这就是集合的表示方法，用这种方法便可以表示向量，直线和平面

Union of Sets 并集

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• 对于两个集合，其Union是另一个Set，其元素包含了all elements of A and B $$A \cup B = { x \in X \mid x \in A \text{ or } x \in B }$$

Intersection of Sets 交集

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• 对于Intersection来说，这个Set包含了任意同时出现在A与B中的元素 $$A \cap B = { x \in X \mid x \in A \text{ and } x \in B }.$$

Vector 向量

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• 思考一个问题，对于一个坐标轴上的点\((2,1)\)和一个向量\(\vec v =[2,1]^T\)，他们的区别
• Point：点是空间中的一个位置，用坐标表示，如P = (x, y, z)表示三维空间中的一个具体位置。点没有方向和大小。
• Vector：向量是一个有大小和方向的数学对象，通常表示两个点之间的位移。例如，从点 A到点B的向量可以表示为\(\mathbf{v} = \overrightarrow{AB}\)
• 亦可以说Point是绝对位置，而向量是一个点到另外一个的有方向的距离

Norm 模

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• 对于\(\vec{v} = \begin{bmatrix} v_1 \ v_2 \ \vdots \ v_n \end{bmatrix} \text{ be in } \mathbb{R}^n\)
• 它的Norm，也就是向量长度即为 $$\sqrt{v_1^2 + v_2^2 + \cdots + v_n^2}$$

Dot Product 点积

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• Dot Product，用来衡量两个Vector方向相似程度的一个Scalar
• 其值从-1到1（仅当两个Vector为Unit Vector的情况下），从方向相反，到同方向，在0的时候代表两个Vector Orthogonal 垂直

Definition

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$$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + \cdots + a_n b_n = \sum_{i=1}^n a_i b_i$$

• 公式中的每一项\(a_i b_i\)表示两个向量在某个维度上的大小相乘
• 点积实际上是在将a和b的方向分量进行逐一对比，累加得到两个向量在整个空间上的“相似性”，每一个维度的相似性都将累加到最终的空间相似性上
• 想要表达这个相似性，还存在另一种方式，即通过Projection $$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = |\mathbf{a}| |\mathbf{b}| \cos \theta$$
• 其代表了b在a方向上Projection的长度再乘以a

Angle Between Vectors

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• 同理可以用Dot Product公式推导两个Vector之间的夹角 $$\theta = \cos^{-1} \left( \frac{\mathbf{A} \cdot \mathbf{B}}{AB} \right) \quad 0^\circ \leq \theta \leq 180^\circ$$

Application

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• Dot Product的一种用法便是Force Vector Directed Along a Line
• 对于一个在\(\vec u\)方向上的Force F，有 $$\vec F_u=\vec F\cdot \vec u=(F\times 1)\cdot \cos\theta=F\cdot \cos\theta$$
• 而这一个\(\cos\theta\)则是 $$\cos\theta=\frac{\vec v\cdot \vec{w}}{|v|\times|w|}$$
• 当把其中一个Vector替换为Direction Vector时，便可以得到Axis-Force’s Direction Cosine $$\cos\theta = \frac{{r_xi+r_yj+r_zk}}{\sqrt{r_x^2+r_y^2+r_z^2}\cdot 1}$$
• 所以就有\(F\cdot \cos \theta=F\cdot \vec u\)之后便可以得到Force在\(\vec u\)方向上的力的Magnitude（注意Dot Product的结果是一个Scalar）
• 要想得到Force在\(\vec u\)方向上的Cartesian Vector，需要再次乘以Direction Vector

最终公式

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$$\vec F=F_u\cdot \vec u= (\vec F\cdot u\cdot\cos\theta)\cdot \vec u=(F\cdot\frac{{r_xi+r_yj+r_zk}}{\sqrt{r_x^2+r_y^2+r_z^2}\cdot 1})\cdot\vec u$$

Line 直线

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• 考虑一个问题Consider the two points P = (1, 2) and Q = (−1, 4)，find an equation for the line y = mx + b which passes through P and Q
• 通过Point-Point Formula可以算出 $$y_2-y_1=\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}(x_2-x_1)$$
• 解得 \(y=−x+3\)
• 现在考虑相似的问题 Suppose x and y satisfy the vector equation $$\begin{bmatrix} x \ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \ 2 \end{bmatrix} + k \begin{bmatrix} 1 \ -1 \end{bmatrix}, \text{ where } k \in \mathbb{R}$$

• 可以发现两个不同的形式表达了同一个Line，他们之所以等价是因为
• \([1,2​]^T\)是直线上的一个固定点（在直线上）。
• \(k\begin{bmatrix} 1 \ -1 \end{bmatrix}\)是一个方向向量，表示直线的方向（斜率），而方程中的斜率为\(m = \frac{\Delta y}{\Delta x}\)，用Direction Vector的y分量除以x分量就可以得到一样的结果
• 而对于Intersection来说，当k=-1的时候，有 $$\begin{bmatrix} x \ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \ 2 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} -1 \ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \ 3\end{bmatrix}$$
• 也就是截距
• 于是就可以定义如下的Line using Set Notation $$L = { \vec{u} \in \mathbb{R}^2 \mid \vec{u} = \vec{v} + t \vec{d}, \text{ for some } t \in \mathbb{R} }$$

为什么需要两个向量 —> 因为需要Position Vector区分不同平行的直线

Plane

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• 同理对于一个Plane，可以通过两个Linearly Independent的Vector与一个Plane上的点表示
• 至于前面Line中所提到的Slope，在这里便是Partical Derivative $$\mathcal{P} = { \vec{u} \in \mathbb{R}^3 \mid \vec{u} = \vec{p} + s \vec{d}_1 + t \vec{d}_2, \text{ for some } s, t \in \mathbb{R} }$$
• 可以发现u是一个\(\mathbb R^3\)中的Subset，这代表了该Subset只含有两个Degree of Freedom，即为三维空间中的一个Plane

注意这里的Plane是一个Subset，不是Subspace，具体原因将在后面指出

Normal Vector

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• 对于平面\(Ax+By+Cz=D\)来说，其Normal Vecotr，也就是垂直于整个Plane的Vector即为\(n=[A,B,C]^T\)

Proof

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• \(P(x_1​,y_1​,z_1​)\)和\(Q(x_2, y_2, z_2)\)都在平面上，那么它们的坐标满足平面方程 $$Ax_1+By_1+Cz_1=D，Ax_2+By_2+Cz_2=D$$
• 则可以构建向量\(\vec{v} = \begin{bmatrix} x_2 - x_1 \ y_2 - y_1 \ z_2 - z_1 \end{bmatrix}\)
• 结合方程组则有\(A(x_2-x_1)+B(y_2-y_1)+C(z_2-z_1)=0\)
• 也就是\(\vec v \cdot \vec n =0\)，其中\(\vec{n} = \begin{bmatrix} A \ B \ C \end{bmatrix}\)

Second definition

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• 结合上面的思想便可以得到Space的第二个Set Notation表达式 $$\mathcal{P} = { \vec{u} \in \mathbb{R}^3 \mid \vec{n} \cdot (\vec{u} - \vec{p}) = 0 }$$
• \(u∈R^3\)：表示平面上的任意点的坐标。
• \(\vec{n} \in \mathbb{R}^3\)：表示平面的法向量，即垂直于平面表面的向量。
• \(\vec{p} \in \mathbb{R}^3\)：表示平面上的一个固定点，用于确定平面的具体位置。
• 点积\(\vec{n} \cdot (\vec{u} - \vec{p}) = 0\)：表示向量\((\vec{u} - \vec{p})\)与法向量\(\vec{n}\)正交。

• \(\vec p\)为Plane上一点，\(\vec n\)为Plane的Normal Vector，剩下的就是点上的任意位置了，由于任意\(\vec u\)都在平面中，\(\vec u-\vec p\) 将仍处于Plane中，而\(\vec n⋅(\vec u−\vec p​)=0\)是限定他的条件

所有的Vector都为Position Vector，即以坐标系Origin为Head的Vector

ex.

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• Find the equation for a plane \(\mathcal{P}\) which contains the three points P = (0, 1, 1), Q = (2, 0, 4), andR = (0, 0, 1)

• Express \(\mathcal{P}\) in vector form, in normal form, and as an equation ax + by + cz = d

• 用三个点确定Plane上的两个Vector