ECMS 4. The Structure Property
Last Edit: 9/25/24
Young’s modulus change with Density #
Ordered Solids #
- 大多数固体材料都是Polycrystaline 多晶体的
- 尤其是Metal在原子尺度上是按照Crystal Structure排列的
- Atomic scale尺度一般在\(10^{-10}\)的级别
Unit Cell #
- 最小的Convenient Building Block
Grains #
- 多晶材料的这些晶体被称为晶粒（grains）。每个晶粒内部的原子排列是有序的，但不同晶粒之间的原子排列方向各不相同，这种微观结构对材料的机械性能和物理性质有重要影响
Short Range Order #
- 指的是在局部区域内，原子或分子的排列是有规律的
- 玻璃、液体这样的材料，它们通常是Short Range Order的
Long Range Order #
- 在整个材料中，原子或分子的排列是有规律的，并且这种规律性会一直延续到较大的尺度（远远超过单个原子的范围）
- 晶体材料，如金属和矿物，通常具有长程有序
Simple Cubic #
- 简单的一个立方体上的八个角为Atoms的结构
- 其正方体的边长被定义为a
- n：1 Atom
- CN：6
- Side Dimension: \(a=2r\)
Hard Sphere Model #
- 所有的Atoms都被当作一个球来模拟，主要是方便描述原子在晶体结构中的排列方式
Reduced Sphere Model #
Real Graph #
- 可以发现这样的Hard Shpere Model看着实在是Messy
- 所以就将所有Atoms简化为Reduced Sphere Model
The Atomic Packing Factor 填充系数 #
- 对于一个Unit Cell，APF描述了Atom对于体积的占有率，从100%完全占据到0%一点没有 $$APF=\frac{Volume_{Spheres}}{Volumn_{Unit~Cell}}$$
- 本质上就是一个百分比或者说分数
- 现在分别计算两个体积
- 对于Spheres来说，单个的体积为\(\frac{4}{3}\pi R^3\)，而将他乘上Number of Atoms后便可以得到所有的体积
- 对于Unit Cell来说，以a为边长，其体积自然为\(a^3\)
Face Centred Cubic (FCC) Structure #
- 结构特点：每个晶胞的八个顶点各有一个原子，此外每个面中心还有一个原子。
- n：每个晶胞含有 4 个原子（8 个顶点原子各占 1/8，6 个面心原子各占 1/2）。
- CN：12（每个原子有 12 个最近邻原子）。
- APF：约 74%（原子占据的体积比例）。
- 例子：铝、铜、金、银等
- 在Simple Cubic的基础上加入一些Face Centred Atoms（在每个面中心的Atom）
Number of Atoms in FCC #
- 对于FCC来说，每一个角上都是\(\frac{1}{8}\)个Atom
- 每一个面都有\(\frac{1}{2}\)个Atom
- 所以一共就是\(\frac{1}{8}*8+\frac{1}{2}*6=4\)个Atom
- 即\(n_{FCC}=4\)
Coordination Number of FCC #
$$CN_{FCC}=12$$
Atomic Packing Factor of FCC #
- 则对于FCC Structure来说，其APF即为 $$APF=\frac{4\frac{4}{3}\pi R^3}{a^3}$$
- 现在要将Atom的radius与Unit Cell的边长a做替换好消掉其中一个
- 有\(a^2+a^2=(4R)^2\)，勾股定律
- 则有\(2a^2=16R^2\)，即\(a_{FCC}=2\sqrt{2}R\)
- 将a带入后便有 $$APF = \frac{4 \left( \frac{4}{3} \pi R^3 \right)}{(2\sqrt{2}R)^3} \ \Rightarrow APF_{FCC} = 0.74$$
Avogadro’s constant 阿伏伽德罗常数 #
- 通常用符号\(N_A\)表示，是指在1摩尔物质中包含的微观粒子（如原子、分子、离子等）的数量。其数值大约为：
$$N_A=6.022×10^{23 }g\cdot mol^{−1}$$
Theoretical Density 理论密度 #
$$\text{Mass}{\text{Atoms in Unit Cell}} = \text{Number}{\text{Atoms in Unit Cell}} \cdot \frac{\text{Molar Mass of Atom}}{\text{Avogadro’s Number}}$$
$$m = n \cdot \frac{A}{N_A}$$ $$\rho = \frac{nA}{V_C N_A}$$
- Density密度，即质量和体积的比值
- \(n\)：Number of Atoms，一个Crystal里的完整分子个数
- A: Molar Mass(g/mol)，原子相对质量
- \(V_c\)：Unit Cell的体积
- \(N_A\)：阿伏伽德罗常数\(mol^{-1}\)
- \(\frac{A}{N_A}\)：\(\frac{g/mol}{mol^{-1}}=g\)，等于一个Atom有几g，再乘上Atom Nuber得到全部的Mass
Rock Salt Structure #
- 是一个Common Ceramic的Crystal Structure
- 结构特点：这是离子晶体结构，通常由两种不同大小的离子（如Na⁺和Cl⁻）组成。大的离子（Cl⁻）形成一个面心立方（FCC）结构，小的离子（Na⁺）填充在八面体间隙中。
- A：每个晶胞含有 4 个阳离子和阴离子。
- CN：阳离子和阴离子的CN都为6。
- APF：约 67%。
- 例子：氯化钠（NaCl）、氧化镁（MgO）等。
- 对于Ceramic Structure来说，其拥有多余一种的Atom类型，具体来说有Cation和Anion两种
- 其是Ionic Compound的一种特有的Crystal Structure
- 对于Rosk Salt Structure来说，其包含了两种Ion，即Anion（蓝色）与Cation（红色）
- Anions在Unit Cell的角上（Cation也可以在，他们描述的将是同一种结构，但一般来说体积大的Anion会先占据Unit Cell的角落，将小的Cation挤到中间去）
- 这个结构看起来像面心立方（FCC），但实际上不是纯粹的FCC，因为阳离子和阴离子之间有相互作用，会推开阴离子，使得阴离子不会像真正的FCC结构那样直接通过面对角线相互接触。
Number of Atoms in Rock Salt (Stoichiometry) #
- 对于如NaCl这样的material，其Anion：Cation比都是1：1的，但上图中明显缺少了一个Cation
- 其正确的位置应该是整个Unit Cell的正中央
Coordination Number for Cations in Rock Salt #
- 对于一个Rock Salt来说，拿最中间的Cation举例，可以发现与其接触的Atom有6个
- 于是就可以说\(CationCoordinationNumber_{Rock~Salt} = 6\)
Density of Rock Salt #
- 对于Rock Slat Structure来说，由于其Atom种类变为了Anion与Cation两个，其[[#Theoretical Density]]的分子也要对应的便为两个的和，即 $$\rho=\frac{n_CA_C+n_AA_A}{V_CN_A}$$
- \(n_CA_C\)：Cation的Number和Moalr Mass，nA同理
- 对于Vc来说，其a变为了两个Atoms的Radus*2，有\(V_C=(2R_A+2R_C)^3\)
Theoretical Density of Rock Salt #
$$\rho = \frac{n_C A_C + n_A A_A}{V_C N_A}$$
Anions #
- 在Rock Salt Structure中的Anion看似处于FCC的位置中
- 但实际上由于附近的Cation和不同Anion之间的相互作用力导致Anion实际上不在精确的FCC位置上
Cations #
- the cations will always touch their nearest neighbour anions
The Body Centred Cubic Crystal (BCC) Structure #
- 结构特点：每个晶胞的八个顶点各有一个原子，且晶胞中心还有一个原子。
- n：每个晶胞含有 2 个原子（8 个顶点原子各占 1/8，中心原子占 1 个）。
- CN：8（每个原子有 8 个最近邻原子）。
- APF：约 68%。
- 例子：铁、钨、铬等。
Number of Atoms in BCC #
$$\frac{1}{2}*2+\frac{1}{8}*8=2$$
Coordination Number of BCC #
$$CoordinationNumberBCC=8$$
Atomic Packing Factor for BCC #
$$APF=\frac{Volume_{Spheres}}{Volumn_{Unit~Cell}}$$
- 对于BCC，要取其Unit Cell边长与Atom radius关系得用Cubic Diagonal，即 $$3a^2=16R^2，\Rightarrow a_{BCC}=\frac{4}{\sqrt3}R$$ $$APF = \frac{2 \left( \frac{4}{3} \pi R^3 \right)}{(\frac{4}{\sqrt3})^3} \
\Rightarrow APF_{BCC} = 0.68$$
Interstitial Sites #
- Space between other atoms
- 其体积就代表了Crystal Structure中的间隙的部分
- By convention, we name interstitial sites according to the solid geometry that they create
Octanhedron Interstitial Site #
- 对于Rock Salt中的Anion的Interstitial Sites，将他们命名为Octanhedron Interstitial Site
Coordination Number of a Interstitial Site #
- 对于Interstitial Site来说，其CN代表了Interstitial Site中心点位置的Atom与最近Atom接触的个数
- 对于Rock Salt来说，Intersitital Site CN = 6
Simple Cubic Interstitial Site #
- 结构特点：每个晶胞的八个顶点各有一个原子，顶点原子通过边连接，但面心和体心没有原子。
- n：1Atom（8 个顶点原子各占 1/8）。
- CN：6（每个原子有 6 个最近邻原子）。
- APF：约 52%。
- 例子：钋（唯一的自然存在的例子）。
- 纯的简单立方晶格中，中心位置是空的（这个红点代表的就是Intersititial Site间隙位的大小
- 但在体心立方或其他某些间隙结构中，这一位置可以被其他原子或离子占据
Coordination Number of Simple Cubic #
$$CoordinationNumberSimpleCubic=8$$
The Size of Interstitial Sites #
- 就Interstitial Site来说，其具有实际大小
- 前面Rock Salt中提到过Cations will always touch their nearest neighbour anions
- 阳离子总是会接触它们最近的阴离子，因此阳离子只有在足够大时才会占据晶体结构中的间隙位。如果阳离子太小，它将无法与最近的阴离子接触，因此不会稳定地占据间隙位
$$\sin 45 = \frac{2R_A}{2R_A + 2R_C} \
(2R_A + 2R_C)\sin 45 = 2R_A \
2R_A\sin 45 + 2R_C\sin 45 = 2R_A \
R_A\sin 45 + R_C\sin 45 = R_A \
\frac{R_A}{R_A}\sin 45 + \frac{R_C}{R_A}\sin 45 = 1 \
\sin 45 + \frac{R_C}{R_A}\sin 45 = 1 \
\frac{R_C}{R_A}\sin 45 = 1 - \sin 45 \
\frac{R_C}{R_A} = \frac{1 - \sin 45}{\sin 45}=0.414$$
Hexagonal Close Packed (HCP) Structure #
- 结构特点：原子以六边形排列，沿c轴有堆叠的结构。原子层是按照ABAB…的顺序堆叠。
- n：每个晶胞含有 6 个原子（从整体堆叠考虑）。
- CN：12（类似于FCC，每个原子有12个最近邻原子）。
- APF：约 74%。
- ex.：镁、钛、锌等
Number of Atoms in HCP #
Coordination Number of HCP #
- CN = 12
Atomic Packing Factor in HCP #
- HCP有着和FCC一样的APF（都为0.74）所以FCC有时会被称为CCP
Different to FCC #
- FCC和HCP的主要区别在于原子的堆积顺序
- FCC中的原子堆积顺序是ABCABC
- 而HCP中的堆积顺序是ABAB
- 尽管它们的堆积顺序不同，但由于原子排列非常紧密，它们的APF都是0.74
Close Packed #
- 要想让Atom排列的更加紧密，需要有Close Packed的结构
- 当Atom在这种排列下，APF才能更高
- 在Not Close Packed下，这种排列的方式更加的松散
Closed Packed Plane #
Not Closed Packed Plane in FCC #
- 对于FCC的侧面上的Atom来说，其并不处于Closed Packed状态下
