EF 4. Electric Potential
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4.1 Electric Potential #
- 对于一个重力场，其Field Strength为g，而Gravity所做的功则为\(W=mgh\)
- 可以发现这一个Work Done只和高度差有关，与路径无关（也就是说即使在途中左右摇摆，重力做的功依然不变）
- 同理可以类比到Electric Field中，电场力做功为\(W=Eqh\)，并且同样的与路径无关
Electrical Potential Energy 电势能 #
- Electrical Potential Energy 是带电粒子由于其位置处于电场中而具有的能量
- 如果Charge在Electric Field中做了Negative的Work，其就是在Electric Field中积累了Electric Potential Energy，于是就有公式 $$U=-W$$
- 其中U就是Electric Potential Energy 电势能
- 具体来说定义Electric Potential Energy的办法就是通过Test Charge的两个参考点，一个是无穷远处电荷之间相互作用力忽略不记的地方，到另一个参考点，Test Charge在这两个点之间做的功便为电势能
Electrical Potential 电势 #
- Electrical Potential 指的是电场中某一点单位电荷所具有的电势能 $$V=\frac{U}{q}$$
- 当Paritical从Electrical Field中的初始点移动到终点时，电势发生变化，用公式表示为 $$\Delta V = V_f - V_i$$
- 电势能的变化可以用公式计算，由于Paritcal的Charge并不发生改变，有 $$\Delta U = -W=q \Delta V = q(V_f - V_i)$$
- 在这一过程中，总能量是守恒的，这意味着动能和势能之和保持不变
- 从初始点 i 移动到终点 f 时，机械能守恒关系表示为： $$U_i + K_i = U_f + K_f 或\Delta K = -\Delta U$$
4.2 Equipotential Surfaces 等势面 #
- Equipotential Surfaces 指的是一个Electrical Potential 相等的区域，Partical沿着这一个Surface移动的时候不需要做功
Calculating the Potential from the Field #
- 根据Electric Field Magnitude可以计算出Partical移动后的Potential Difference
- 由于Partical在Electric Field中需要克服电场力做功，则有 $$dW=\vec E \cdot d\vec s\Rightarrow \int dW= V_f - V_i = -\int_i^f \vec{E} \cdot d\vec{s}$$
4.3 Electrical Potential Due to a Charged Particle #
- Charged Particle在空间中会形成一个Electrical Field，\(\vec{E} = \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \frac{q}{r^2} \hat{r}\)，将其代入积分 $$V = -\int_\infty^r \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \frac{q}{r^2} dr= \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \frac{q}{r}$$
A positively charged particle produces a positive electric potential. A negatively charged particle produces a negative electric potential.
ex. Rank the Electral Potential #
Assume all dots are Protons
- 根据\(V= \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \frac{q}{r}\)，r越小V越大，有
- a) Proton 1 has more Electric Potential (v) than Proton 2, since D > d
- b) Proton 1 has more Electric Potential (v) than Proton 2, since D > d
- c) Proton 1 has more Electric Potential (v) than Proton 2, since D > d
4.7 Electrical Potential Energy of a system of charged Particles #
- 对于空间中的两个Particle，他们之间的距离为 r ，则由他们之间的Electrical Field相互作用而具有的Energy被称为他们的Potential Energy，前面已经提到了一个Partical在空间中会形成一个Electrial Potential \(V = \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \frac{q}{r}\) ，而U是Partical在电场中所具有的能量，就有 $$U = \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \frac{q_1 q_2}{r}$$
- U：两电荷之间的Electrical Potential Energy
- \(q_1、q_2\)：两个电荷的电荷量（C）
- \(r\)：两电荷之间的距离
- \(\varepsilon_0\)：真空介电常数（\(8.85 \times 10^{-12} , \text{F/m}\)）
Sign Convention #
- 已知2个Partical可能出现三种不同的系统
- 如果两电荷都是正电荷，它们会排斥，电势能 U>0
- 如果两电荷都是负电荷，它们同样会排斥，但电势能公式保持不变，因为两个负电荷相乘仍为正数，因此 U>0
- 如果两个电荷符号不同（例如，一个是正电荷，另一个是负电荷），它们会吸引，表示系统释放能量
ex. Potential Energy of a system of three charged particles #
有一个等边三角形的电荷系统，包含三个带电粒子：q1=+q，q2=−4q，q3=+2q，分别间隔12cm，求这个系统的Total Potential Energy
- 已知两个电荷之间的电势能为： \(U_{ij} = \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \frac{q_i q_j}{d}\)，总电势能是所有电荷对之间电势能的总和： \(U = U_{12} + U_{13} + U_{23}\) $$U = U_{12} + U_{13} + U_{23}$$ $$U = -\frac{4q^2}{4\pi \epsilon_0 d} + \frac{2q^2}{4\pi \epsilon_0 d} - \frac{8q^2}{4\pi \epsilon_0 d} $$ $$U = -\frac{10q^2}{4\pi \epsilon_0 d}$$
- 代入数据后可以得到 $$U = -\frac{10 (150 \times 10^{-9})^2}{4\pi \epsilon_0 \times 0.12}\Rightarrow U = -1.7 , \text{J} = -1.7 , \text{mJ}$$
负电势能意味着这个带电系统更稳定，或者说如果你想把这些电荷分开到无限远，就需要额外做功才能克服它们之间的相互作用。负值越大，系统的束缚越强。