ECMS 4. The Structure Property

Table of Contents

ECMS - This article is part of a series.

Part 1: Engineering Chemistry & Materials Science

Part 2: ECMS 2. Elastic Behavior

Part 3: ECMS 3. Plastic Deformation

Part 4: This Article

Part 5: MCMS 5. Further On Stress Strain

Part 6: MCMS 6. Plastics

Part 7: ECMS 7. Light and Quantum

Part 8: ECMS 8. Thermodynamics

Last Edit: 9/25/24

Young’s modulus change with Density
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Ordered Solids
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大多数固体材料都是Polycrystaline 多晶体的
尤其是Metal在原子尺度上是按照Crystal Structure排列的
Atomic scale尺度一般在$10^{-10}$的级别

Unit Cell
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最小的Convenient Building Block

Grains
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多晶材料的这些晶体被称为晶粒（grains）。每个晶粒内部的原子排列是有序的，但不同晶粒之间的原子排列方向各不相同，这种微观结构对材料的机械性能和物理性质有重要影响

Short Range Order
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指的是在局部区域内，原子或分子的排列是有规律的
玻璃、液体这样的材料，它们通常是Short Range Order的

Long Range Order
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在整个材料中，原子或分子的排列是有规律的，并且这种规律性会一直延续到较大的尺度（远远超过单个原子的范围）
晶体材料，如金属和矿物，通常具有长程有序

Simple Cubic
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简单的一个立方体上的八个角为Atoms的结构
其正方体的边长被定义为a
n：1 Atom
CN：6
Side Dimension: $a=2r$

Hard Sphere Model
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所有的Atoms都被当作一个球来模拟，主要是方便描述原子在晶体结构中的排列方式

Reduced Sphere Model
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Real Graph
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可以发现这样的Hard Shpere Model看着实在是Messy
所以就将所有Atoms简化为Reduced Sphere Model

The Atomic Packing Factor 填充系数
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对于一个Unit Cell，APF描述了Atom对于体积的占有率，从100%完全占据到0%一点没有 $$APF=\frac{Volume_{Spheres}}{Volumn_{Unit~Cell}}$$
本质上就是一个百分比或者说分数
现在分别计算两个体积
对于Spheres来说，单个的体积为$\frac{4}{3}\pi R^3$，而将他乘上Number of Atoms后便可以得到所有的体积
对于Unit Cell来说，以a为边长，其体积自然为$a^3$

Face Centred Cubic (FCC) Structure
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结构特点：每个晶胞的八个顶点各有一个原子，此外每个面中心还有一个原子。
n：每个晶胞含有 4 个原子（8 个顶点原子各占 1/8，6 个面心原子各占 1/2）。
CN：12（每个原子有 12 个最近邻原子）。
APF：约 74%（原子占据的体积比例）。
例子：铝、铜、金、银等
在Simple Cubic的基础上加入一些Face Centred Atoms（在每个面中心的Atom）

Number of Atoms in FCC
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对于FCC来说，每一个角上都是$\frac{1}{8}$个Atom
每一个面都有$\frac{1}{2}$个Atom
所以一共就是$\frac{1}{8}*8+\frac{1}{2}*6=4$个Atom
即$n_{FCC}=4$

Coordination Number of FCC
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$$CN_{FCC}=12$$

Atomic Packing Factor of FCC
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则对于FCC Structure来说，其APF即为 $$APF=\frac{4\frac{4}{3}\pi R^3}{a^3}$$
现在要将Atom的radius与Unit Cell的边长a做替换好消掉其中一个

有$a^2+a^2=(4R)^2$，勾股定律
则有$2a^2=16R^2$，即$a_{FCC}=2\sqrt{2}R$
将a带入后便有 $$APF = \frac{4 \left( \frac{4}{3} \pi R^3 \right)}{(2\sqrt{2}R)^3} \ \Rightarrow APF_{FCC} = 0.74$$

Avogadro’s constant 阿伏伽德罗常数
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通常用符号$N_A$表示，是指在1摩尔物质中包含的微观粒子（如原子、分子、离子等）的数量。其数值大约为：

$$N_A=6.022×10^{23 }g\cdot mol^{−1}$$

Theoretical Density 理论密度
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$$\text{Mass}{\text{Atoms in Unit Cell}} = \text{Number}{\text{Atoms in Unit Cell}} \cdot \frac{\text{Molar Mass of Atom}}{\text{Avogadro’s Number}}$$

$$m = n \cdot \frac{A}{N_A}$$ $$\rho = \frac{nA}{V_C N_A}$$

Density密度，即质量和体积的比值
$n$：Number of Atoms，一个Crystal里的完整分子个数
A: Molar Mass(g/mol)，原子相对质量
$V_c$：Unit Cell的体积
$N_A$：阿伏伽德罗常数$mol^{-1}$
$\frac{A}{N_A}$：$\frac{g/mol}{mol^{-1}}=g$，等于一个Atom有几g，再乘上Atom Nuber得到全部的Mass

Rock Salt Structure
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是一个Common Ceramic的Crystal Structure
结构特点：这是离子晶体结构，通常由两种不同大小的离子（如Na⁺和Cl⁻）组成。大的离子（Cl⁻）形成一个面心立方（FCC）结构，小的离子（Na⁺）填充在八面体间隙中。
A：每个晶胞含有 4 个阳离子和阴离子。
CN：阳离子和阴离子的CN都为6。
APF：约 67%。
例子：氯化钠（NaCl）、氧化镁（MgO）等。
对于Ceramic Structure来说，其拥有多余一种的Atom类型，具体来说有Cation和Anion两种
其是Ionic Compound的一种特有的Crystal Structure

对于Rosk Salt Structure来说，其包含了两种Ion，即Anion（蓝色）与Cation（红色）
Anions在Unit Cell的角上（Cation也可以在，他们描述的将是同一种结构，但一般来说体积大的Anion会先占据Unit Cell的角落，将小的Cation挤到中间去）
这个结构看起来像面心立方（FCC），但实际上不是纯粹的FCC，因为阳离子和阴离子之间有相互作用，会推开阴离子，使得阴离子不会像真正的FCC结构那样直接通过面对角线相互接触。

Number of Atoms in Rock Salt (Stoichiometry)
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对于如NaCl这样的material，其Anion：Cation比都是1：1的，但上图中明显缺少了一个Cation
其正确的位置应该是整个Unit Cell的正中央

Coordination Number for Cations in Rock Salt
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对于一个Rock Salt来说，拿最中间的Cation举例，可以发现与其接触的Atom有6个
于是就可以说$CationCoordinationNumber_{Rock~Salt} = 6$

Density of Rock Salt
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对于Rock Slat Structure来说，由于其Atom种类变为了Anion与Cation两个，其[[#Theoretical Density]]的分子也要对应的便为两个的和，即 $$\rho=\frac{n_CA_C+n_AA_A}{V_CN_A}$$
$n_CA_C$：Cation的Number和Moalr Mass，nA同理
对于Vc来说，其a变为了两个Atoms的Radus*2，有$V_C=(2R_A+2R_C)^3$

Theoretical Density of Rock Salt
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$$\rho = \frac{n_C A_C + n_A A_A}{V_C N_A}$$

Anions
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在Rock Salt Structure中的Anion看似处于FCC的位置中
但实际上由于附近的Cation和不同Anion之间的相互作用力导致Anion实际上不在精确的FCC位置上

Cations
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the cations will always touch their nearest neighbour anions

The Body Centred Cubic Crystal (BCC) Structure
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结构特点：每个晶胞的八个顶点各有一个原子，且晶胞中心还有一个原子。
n：每个晶胞含有 2 个原子（8 个顶点原子各占 1/8，中心原子占 1 个）。
CN：8（每个原子有 8 个最近邻原子）。
APF：约 68%。
例子：铁、钨、铬等。

Number of Atoms in BCC
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$$\frac{1}{2}*2+\frac{1}{8}*8=2$$

Coordination Number of BCC
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$$CoordinationNumberBCC=8$$

Atomic Packing Factor for BCC
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$$APF=\frac{Volume_{Spheres}}{Volumn_{Unit~Cell}}$$

对于BCC，要取其Unit Cell边长与Atom radius关系得用Cubic Diagonal，即 $$3a^2=16R^2，\Rightarrow a_{BCC}=\frac{4}{\sqrt3}R$$ $$APF = \frac{2 \left( \frac{4}{3} \pi R^3 \right)}{(\frac{4}{\sqrt3})^3} \

\Rightarrow APF_{BCC} = 0.68$$

Interstitial Sites
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Space between other atoms
其体积就代表了Crystal Structure中的间隙的部分
By convention, we name interstitial sites according to the solid geometry that they create

Octanhedron Interstitial Site
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对于Rock Salt中的Anion的Interstitial Sites，将他们命名为Octanhedron Interstitial Site

Coordination Number of a Interstitial Site
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对于Interstitial Site来说，其CN代表了Interstitial Site中心点位置的Atom与最近Atom接触的个数
对于Rock Salt来说，Intersitital Site CN = 6

Simple Cubic Interstitial Site
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结构特点：每个晶胞的八个顶点各有一个原子，顶点原子通过边连接，但面心和体心没有原子。
n：1Atom（8 个顶点原子各占 1/8）。
CN：6（每个原子有 6 个最近邻原子）。
APF：约 52%。
例子：钋（唯一的自然存在的例子）。
纯的简单立方晶格中，中心位置是空的（这个红点代表的就是Intersititial Site间隙位的大小
但在体心立方或其他某些间隙结构中，这一位置可以被其他原子或离子占据

Coordination Number of Simple Cubic
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$$CoordinationNumberSimpleCubic=8$$

The Size of Interstitial Sites
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就Interstitial Site来说，其具有实际大小
前面Rock Salt中提到过Cations will always touch their nearest neighbour anions
阳离子总是会接触它们最近的阴离子，因此阳离子只有在足够大时才会占据晶体结构中的间隙位。如果阳离子太小，它将无法与最近的阴离子接触，因此不会稳定地占据间隙位